fbpx
Hegedűs Gábor

KÉP, ÉS AMIHEZ TÁRSÍTJUK

2007 december

KÉP, ÉS AMIHEZ TÁRSÍTJUK

Az általános iskolában megtanítottak, hogy a geometriai feladatok megoldását kezdjem a megoldott állapot elképzelésével. Később rájöttem: jól jön ez a módszer máskor is (gyakran így írunk fel például egyenleteket). Az elemi geometrián kívül azonban ez a kép olykor nehezen illeszkedik általános fogalmainkhoz, sőt, a geometriában sem olyan egyszerű a helyzet, mint elsőre gondoljuk.

Molnár József tanár úr, akitől az egyetemen 42 éve hallgattam geometriát, egyszer a tőle megszokott, szép ábra helyett kissé deformált alakzatot rajzolt a táblára. Észrevette azonnal, de nem javította ki, hanem azt mondta: axiómákon alapuló összefüggésekkel foglalkozunk, amelyeknek az igazsága nem függ a rajztól, a rajz csak illusztráció. Valóban: a sikerületlen rajzon a kör messze volt ugyan az ideális körtől, az egyenes az ideális egyenestől, de az összefüggések szemléltetésére a rajz mégis alkalmas volt. Így van ez több ezer éve a geometriában (a matematika részét alkotó geometriában, mert a földmérőnek az elérhető és elvárt pontosságra kell törekednie).

Mi a helyzet a matematika más területein, például az n-dimenziós térben, amikor n nagyobb háromnál: van itt szerepe a látásnak? Válaszul idézem Czách László tanár urat, akitől – többek között – funkcionálanalízist hallgattam az egyetemen: ‘azt értem, hogy valaki nem lát banach térben, ahol egy gömb nála nagyobb sugarú gömböt is tartalmazhat, de hogy ne lásson hilbert térben, amelynek csak megszámlálhatóan végtelen dimenziója van!…’
többdimenziós terek
Egy matematikusnak képe kell legyen ezekről a terekről, azaz valamilyen mértékben látnia kell ezekben a terekben. A látás szó azonban nyilvánvalóan mást jelent, mint ahogy a hétköznapi életben használjuk. Nem emlékszem, hogy hallottam volna más matematikusoktól, ők hogyan oldják meg a problémát, ezért csak azt mondhatom el, én hogyan képzelem magam elé a többdimenziós tereket.

A szó eredeti értelmében természetesen csak 3-dimenziós térben látok, ezért ebben – sőt, lehetőleg a még jobban kezelhető 2-dimenziósban – próbálom modellezni a tereket. Csoportosítom az adott feladatban hasonló szerepet játszó dimenzióikat (igyekszem úgy alakítani a problémát, hogy csoportosíthatók legyenek), és a csoportokat egy (esetleg két) dimenziónak tekintve próbálom együttesüket párosával vagy hármasával megvizsgálni. Ha így már látok valamit, meggondolom, mit veszítettem a csoportosítással, és a veszteséget megpróbálom ellensúlyozni az összképben (az eredmény már nem hétköznapi értelemben vett látvány, de köze van ahhoz). Igyekszem más csoportosításokat is elképzelni, míg végül eljutok a határig, ameddig a látáson alapuló kép valamilyen általánosításáról merek beszélni. Természetesen a csoportok egy (vagy két) dimenzióba tömörítéséből adódó veszteség önmagában is vizsgálható az eredeti feladatra alkalmazott módszerekkel.

malevich2

Lássunk egy egyszerű példát a dimenziók egyesítésére! A síkon elvileg akárhány dimenziós ‘kockákat’ lerajzolhatunk, a 2-nél többdimenziósakat természetesen csak valamilyen konvenció szerint átalakítva. Vegyük az egyszerűség kedvéért csak éleiket, mert ekkor takarással alig kell foglalkoznunk!

– Induljunk ki egy pontból (tekintsük nulladimenziós kockának).

– Szakaszt (egydimenziós kockát) úgy kapunk, hogy a pontot odébb toljuk, és új helyét az elsővel összekötjük.

– Négyzetet (kétdimenziós kockát) úgy kapunk, hogy a szakaszt odébb toljuk (eredetijével párhuzamosan), majd eredeti végpontjait összekötjük eltolt megfelelőjükkel. (Ha az összekötő szakaszok nem merőlegesek az eredeti szakaszokra, vagy nem azonos a hosszuk azokéval, akkor ‘nem fölülről nézzük’ az ábrázolt négyzetet.)

– Kockát (háromdimenzióst) úgy kapunk, hogy a négyzetet odébb toljuk (eredetijével párhuzamosan), majd eredeti csúcspontjait összekötjük eltolt megfelelőjükkel. (A kocka hat lapjának mindegyikét ‘nem nézhetjük egyszerre fölülről’, ezért nem lehet mindnek a képe négyzet.)

– Négydimenziós kockát úgy kapunk, hogy a háromdimenzióst odébb toljuk (eredetijével párhuzamosan), majd eredeti csúcspontjait összekötjük eltolt megfelelőjükkel.

hegedus_dimenziok

A folyamat tovább vihető, de néhány lépés után már lehetetlen olyan szögben húzni az újabb vonalakat, hogy valamit látni lehessen, ezért a rajz nem ad semmit a képzelethez.
valódi kocka
Az előző folyamatot lejátszhatjuk a térben is, vonalak helyett drótokkal. Ekkor a négyzetig minden úgy zajlik, mint a síkon, hiszen műveleteink egy síkon belül maradnak. Új viszont, hogy a kocka valódi kocka lesz, mert a térben a négyzet odébb tolható saját síkjára merőleges irányban, éppen éleinek hosszával. Az előbbiek analógiájára mondhatjuk: a negyedik dimenzióból minden lapját ‘fölülről’ nézzük. Hogy ez az analóg állítás mennyire kapcsolódik a látáshoz, sok mindentől függ, közöttük a szemlélő tudásától és akaratától is. Ha a rálátás szemléltetése érdekében (most összesen négy dimenziónk van) egy csoportba veszem a kocka három dimenzióját, a csoport után csak második lesz az a dimenzió, ahonnan nézem: a kép így a síkban is ‘elfér’, az ellensúlyozandó veszteség pedig az, hogy a kocka szakasszá torzul.

A négydimenziós kockát a térben úgy modellezhetjük, hogy készítünk két azonos méretű kockát, majd csúcsaikat azonos hosszúságú drótokkal összekötjük. Képzelőerő kérdése, ‘látjuk’-e (ki tudjuk-e tapintani) a belsejét és a határoló, háromdimenziós kockák mindegyikét (ahogyan a síkba rajzolt kocka belsejét és lapjait). A térben is folytatható az eljárás, de hamarosan az így kapott modell látványa és tapintása sem ad semmit a képzelethez.

malevich3

Az n-dimenziós (n nagyobb háromnál) kocka dimenzióit a háromdimenziós esethez hasonlóan egyesítve az ott leírt, síkbeli képet kapjuk, csak a pótolandó veszteség szól n dimenzió egyenesbe torzításáról. Ezek a képből kiveszett dimenziók azonban hasonlítanak egymásra: az egész veszteséget jól modellezi, ahogyan a négyzetet szakasszá vonom össze, hogy a ‘rálátást’ síkban ábrázolhassam. Ez a modell teljes egészében a háromdimenziós térben van, azaz szereplői a szó eredeti értelmében láthatók.

*

A gondolkodást segítő képnek nem kell semmilyen szempontból hűnek lennie a gondolkodás tárgyához, a gondolkodó akár tudatosan is torzíthat. (Kivel nem történt még hasonló: Hogy is hívják, akivel tegnap délben, a kapuban találkoztunk? Jaj, emlékszem, B-vel kezdődik a neve. Megvan! Vámos. Szerepe volt ebben, hogy a cirill abc-ben a V hangot egy B formájú betű jelöli? Nem valószínű, de lehet – az eredmény szempontjából teljesen mindegy.)
meséltek az ágak árnyai
Ötévesen egy hetekig tartó fertőző betegségből otthon gyógyultam meg: nagymamám ápolt, kettesben voltunk elkülönítve. Hogy nyugodtan maradjak, szinte folyamatosan mesélt. Esténként az utcai lámpák fénye a falra vetítette az ablak előtt álló fák ágainak árnyékát, a széltől mozgó árnyak között megelevenedett számomra az egész mesevilág. Évekig élénken élt bennem ez az emlék, maguktól is meséltek az ágak árnyai, de pár év múlva ostornyeles lámpákat telepítettek a ház előtti járdára, eltűntek az árnyékok, elhallgatott a mese. Felnőttem, elköltöztem, én meséltem gyerekeimnek (most már ők mesélnek unokáimnak, talán még egy-egy fordulatban felismerhető, amit nagymamámtól hallottam, bár ők nem tudnak erről, ahogy én sem tudtam, nagymamám kitől hallotta, ami nem sajátja volt).

35 évvel egykori betegségem, 15 évvel elköltözésem után egy éjszakát ismét a régi lakásban töltöttem. Valami miatt nem működtek a ház elé telepített lámpák, a túloldaliak ismét a falra vetítették az évtizedek óta nem látott árnyékokat. Félálmomban újra megelevenedtek nagymamám meséi, a hangját is hallani véltem. Semmi máshoz nem fogható élmény volt.

kép | Kazimir Malevics festményei