Hegedűs Gábor

VALAMINT A PUSKAGOLYÓBICS KÉTANNYIRA NEM MEGY, MINT AMENNYIRE MEGY

VALAMINT A PUSKAGOLYÓBICS KÉTANNYIRA NEM MEGY, MINT AMENNYIRE MEGY

Darányi Sándor 1989-es, Dél csillaga című esszéje sok fontos megállapítást tartalmaz a megismerésről; ezen belül külön elgondolkoztató, hogyan érvel tudományos eredményekkel. Írásában felveti: „A kérdés mégis az, miért tanulunk, milyen célt szolgál a megismerés. Arra gyanakszom ugyanis, hogy a megismerés mint eszköz ugyanúgy bizonyos szabályoknak alávetett – másképpen: korlátos –, mint például a részecskefizika a határozatlansági reláció következtében. Vagyis eredményeit eleve fenntartással kellene kezelnünk, ha pedig nem így teszünk, becsapjuk magunkat és azokat, akikkel elhitettük a tudomány, a testet öltött és szakosodott megismerés csalhatatlanságát.” A határozatlansági reláció nem a megismerés folyamatára vonatkozik, arról nem bizonyít semmit, de hasonlóságok lehetnek. (Hogy a helynek és a sebességnek a határozatlansági relációban megjelenő összefüggése korlát formájú, az nyilvánvaló, de hogy tartalmában korlát volna, az vitatható. Ha nem tekintjük tartalmi korlátnak, akkor az említett hasonlóság nem létezik, vagy legalább nem szolgálja a szerző célját.)

a szavakon túl

Később írja: „A döntő kérdés az istenismeretre – a dolgok teljes, helyes megértésére – szomjazó számára az, hogyan lehetséges, hogy egy egyetlen Istent ennyire hidegen hagyjon az a sok vallás, amely mind a kizárólagosság igényével hivatkozik rá? A magyarázat kézenfekvő. Az egyes istenképek közül egymaga valószínűleg egyik sem teljes vagy helyes, és csak együtt képesek valamit leírni abból, ami a szavakon túl terül el. Mindez azonban csupán a határozatlansági reláció újrafogalmazása…” Mi köze van a határozatlansági relációnak a teljes, helyes megértésre törekvéshez, vagy azon belül csak a sok „egyedül igaz” valláshoz? Közvetlenül nyilván semmi, de a korábbi elméletek és a mérési eredmények összehangolása példaértékű lehet a megismerés számára, akár a formai korlátokként megjelenő összefüggések feltárása terén is.

kla18

Miért hivatkozik Darányi – sok máshoz hasonlóan – korlátként egy tudományos eredményre?

Petőfi Sándor, A helység kalapácsa című versének írásom címéül választott sora jó találós kérdés: mikor nem igaz a benne szereplő állítás? (Ha a golyóbics nulla távolságra megy, azaz a puska csütörtököt mond.) A működő puskákra igaz, és igazsága miatt nem szokott hiányérzetünk lenni. Vannak azonban, akik a valóság valamely részét hűen tükröző modellek bizonyos tulajdonságait korlátnak érzik. Ahhoz nagyon tudatlannak kell lenni, hogy valakit zavarjon: észak felé haladtában az Északi-sark elérése korlátot jelent, onnan nem mehet tovább észak felé. Aki tudja, hogy a fizikai hőmérséklet alapja a részecskék mozgása, az nem gondolhatja, hogy az egymáshoz képest nem mozgó részecskékből álló anyagnál elképzelhető hidegebb. Az abszolút nulla hőmérséklet fogalmának léte korlát a hőmérsékleti skálán, de nem korlát, hanem ismeret a Világról alkotott képünkben. Nézzünk bonyolultabb eseteket!

csak bizonyos korlátok között

Az Általános Relativitáselmélet szerint a téridő az Ősrobbanással keletkezett, így térben és időben addig lehet visszamenni az evvel az elmélettel leírt Világban. Az „Ősrobbanás előtti idő” ebben a modellben értelmetlen; ha valaki erről akar beszélni, akkor azt is meg kell mondania, milyen modell idő-fogalmát használja. A hétköznapi beszéd ideje – mint életünk általában – a Newton-modellel van összhangban, ott az idő mindkét irányban végtelen lehet. Ez a modell az általános relativitáselmélet alapján csak bizonyos korlátok között, jó közelítésként fogadható el; az ősrobbanás óta eltelt idő bőven túllép ezeken a korlátokon. Az Általános Relativitáselmélet alapján nem lehet Ősrobbanás előtti időről beszélni, de valamilyen általánosítás alapján lehetne. Ilyen – elfogadott – elmélet nincs, ezért napjainkban csak a tudomány területének elhagyása – pl. credo quia absurdum (hiszem, mert lehetetlen) – vagy valamelyik elmélet-kísérlet kiválasztása teszi lehetővé az Ősrobbanás előtti idő feltételezését.

Egy fizikust kérdeztem népszerűsítő kozmológiai előadása kapcsán, miért nem mínusz végtelennel modellezik az Ősrobbanás (elérhetetlen) időpontját, hiszen viszonylag kis iskolázottsággal is tudni lehet, hogy a valós számok és pozitív felük között az exponenciális és a logaritmus függvény kölcsönösen egyértelmű és rendezéstartó, egymással visszafordítható megfeleltetést hoz létre. Ilyen esetben a mínusz végtelen előtti időpontot sokkal kevesebben próbálnának keresni. Azért nem – felelte –, mert akkor minden időfüggvény elbonyolódna, a tartalom pedig nem változna: se így, se úgy nincs Ősrobbanás előtti időpont.

kla19

A XX. század fizikájának másik fontos eleme a kvantumelmélet, amelyben a Heisenberg-féle határozatlansági reláció egyidejű mérések pontosságára vonatkozó korlátok formájában született meg: egy objektum helyének és impulzusának egyidejű mérésekor kapott szórások szorzata – ideális mérőeszközök használata esetén is – legalább a redukált Planck-állandó fele. Az impulzus (lendület, mozgásmennyiség) a tömeg és a sebesség szorzata, a redukált Planck-állandó ~10-34 joule-másodperc, ezért a hétköznapi életben tapasztalható tömegek esetében ez a pontatlanság érdektelen. Mit jelent akkor, amikor érdekes? Egy mérés eredménye azt mutatja, hogy egy választott egység hányszorosa, amit mérünk. Minden mérés hordoz különféle bizonytalanságokat, ezért eredménye valójában egy véletlentől is függő érték. Ebben a véletlenben keverednek a tudásunk és eszközeink hiányosságaiból adódó elemek az esetleg tőlünk függetlenül létezőkkel. A mértékegység méréskor megállapított szorzójának eloszlása van, az eloszlást bevált szokás várható értékével és szórásával jellemezni (a minket érdeklő esetekben a véletlennek ezek a jellemzői lehetnek ismeretlenek, de léteznek). A szórás a mérés pontosságának jó jellemzője, ezért a határozatlansági reláció valóban az egyidejű mérések pontosságáról, annak a tőlünk független részéről szól.

mélyebb bepillantás

Felfedezésekor Heisenberg is gondolhatott eszközei képességeiből eredő pontatlanságra (úgy tudjuk, gondolt is), de idővel kimutatta, hogy a fizikai világ ilyen: ha eszközei „tökéletesek” volnának, ez az összefüggés akkor is fennállna. Valójában így nem „pontatlanság”, amit észlelt (majd fizikusok sokasága erősített meg), hanem a korábbinál mélyebb bepillantást nyert a fizikai valóság természetébe: egy tömegpont helye és mozgása nem független egymástól, hanem csak egymással összefüggésben létezik. Nem képességeink miatt van így, hanem elvileg ilyen a természetük.

Mi a különbség, hogy

  1. „csak az Északi-sarkig haladhatok észak felé”, vagy
  2. „a hűtés csak az abszolút nulla fokig juthat”, és hogy
  3. „csak az Ősrobbanásig haladhatok az időben visszafelé”, vagy
  4. „nem mérhetem meg egyszerre tetszőleges pontossággal egy részecske helyét és sebességét”

állítások között? Az 1. évszázadok óta benne van a köztudatban (a föld közel gömbölyű), a 2. a kinetikus hőelmélettel ment át a köztudatba, a 3. és a 4. csak azóta, hogy az általános relativitáselmélet, illetve a kvantumelmélet valamilyen szintű ismerete elterjedt. Mind a négy az emberi tudás része, annyira korlátoz csak, mint minden tudás általában.

kla20

Nézzünk egy matematikai (eredetű) példát is!

Gödel első nemteljességi tétele szerint „minden ellentmondásmentes, a természetes számok elméletét tartalmazó, formális-axiomatikus elméletben megfogalmazható olyan állítás, mely se nem bizonyítható, se nem cáfolható”. Gödel – az elsőből következő – második nemteljességi tétele szerint „minden, az első nemteljességi tétel feltételeit kielégítő elméletben bizonyíthatatlan, hogy maga az elmélet ellentmondásmentes”. Ez két, a matematikai axiómarendszerek tulajdonságairól szóló, a matematikában elfogadott módon bizonyított tétel. A matematikusok számára ezek azt jelentik, hogy sokak korábbi álma nem teljesülhet: a matematika nem alkalmas önmaga teljességének és ellentmondásmentességének bizonyítására, elméletileg sem hozható létre a matematikai igazságok teljes tára. (A matematikai kérdés evvel nincs lezárva, mert ha ez az álom nem is teljesülhet, de egyrészt milyen – szerényebb – cél érhető el helyette, másrészt nem lehetne-e a matematika módszertanán javítani? Minket – most – nem ezek érdekelnek.) Egy álom meghiúsulásán lehet bánkódni, lehet azt mondani, hogy a valóság korlátozza álmaink megvalósulását, de a lényeg az, hogy ezek a tételek a valóság (esetünkben a matematika) a korábbinál alaposabb ismeretéhez segítenek. (Sok elődjéhez és kortársához hasonlóan, Bolyai János is megpróbálta a párhuzamosok axiómáját Eukleidész többi axiómája alapján tételként bizonyítani, de amikor az ellenkezője sikerült, nem korlátként élte meg, hanem örömmel fogadta az így megnyíló, új világot.)

egyáltalán mit jelenthet

Matematikai modellek számos tudomány fontos eszközei, így a matematika eredményei rájuk is hatnak. Gödel nemteljességi tételeinek más tudományokra gyakorolt hatása révén is komoly irodalma támadt. Ezek szerzői „nem mindig” vették figyelembe, hogy Gödel tételeit egy axiomatikus rendszeren belül bizonyította, tehát bizonyítottként csak feltételei teljesülésének igazolása után lehet hivatkozni rájuk. Torkel Franzen írja Gödel Nemteljességi TételeiÉrtelmezések és Félreértések című munkájában (ford.: Csaba Ferenc, Typotex, 2013) egy elképzelhető, axiomatikusan felépített, a matematikából a feltételekhez eleget tartalmazó fizikáról: „… Gödel tételéből csupán az elmélet aritmetikai komponensének nemteljessége következik. A fizika alapvető egyenletei – bármik is legyenek – valóban nem dönthetik el az összes aritmetikai állítást, de a nemteljességi tétel alapján sem arról nem mondhatunk semmit, hogy a fizikai világ leírásaként teljesek-e, sem arról, hogy egyáltalán mit jelenthet ebben az esetben a teljesség.” Lábjegyzet szól ugyanitt arról, hogy ezt az állítást a megállapítását előhívó mű fizikus szerzője is helyesnek tartotta.

Az előző bekezdésben avval foglalkoztunk, milyen hatással lehetnek egy, a matematikából a Gödel-tételek érvényességéhez eleget tartalmazó, axiomatikus tudományos elméletre maguk a tételek. (Lényegében semmilyenre.) Gödel bizonyításai azonban módszertant adnak hasonló állítások igazolására. Alkalmazásához „csak” annyi kell, hogy a vizsgált rendszer formalizált és axiomatikus felépítésű legyen, továbbá szerepeljenek benne a természetes számok elméletének megfelelői. Ilyenről nem tudunk. (Azok a kísérletek, amelyek más – matematikán kívüli – területen próbálták a tétel valamilyen analogonját alkalmazni, rendre megfeledkeztek feltételeinek ellenőrzéséről, ezért állításaik lehettek ugyan helyesek, de helyességüknek akkor sem volt köze Gödel nemteljességi tételeihez.)

kla21

A matematikán kívül nem sikerült eredeti formájában, érdemben hasznosítani Gödel eredményét, de mint analógia megtermékenyítően hatott. Egy példát említünk. Stephen Hawking Gödel és a fizika vége című előadásában mondta (idézi Franzen már említett munkájában): „A fizikai elméletek tehát önreferenciálisak, amilyen a Gödel-mondat is. Emiatt számíthatunk arra, hogy vagy inkonzisztensek, vagy nemteljesek. Az eddigi elméleteink egyszerre inkonzisztensek és nemteljesek.” Figyeljünk a lényeges különbségre: nem állítja, hogy Gödel alapján bármi igaz volna a fizikában, de azt igen, hogy várhatunk hasonló eredményt ott is.

Ugyanígy használhatók a korábban említett példák, amint azt Darányi Sándor írásával kapcsolatban már megmutattuk.

Korlátoz a tudás? Hozzáállás dolga! Nincs egy részecskének egyszerre tetszőleges pontossággal megadható helye és sebessége. Nincs, ezért nem is mérhető meg. Az Északi-sarkról semmi sem irányul észak felé. Onnan nem indulhatok észak felé. A bekezdésben korlátként megfogalmazott állítások (nem mérhető, nem indulhatok) valóban korlátoznak? Hozzáállás dolga!

kép | shutterstock.com