Bujtor László

BORGES ÉS A FRAKTÁLOK

2010 augusztus

BORGES ÉS A FRAKTÁLOK

Már ez sem a régi – kesergett barátom a rántott karfiolt nyammogva. Talán keserű? – kérdeztem. Nem a növénnyel van bajom – mondta, és kezembe nyomott egy cikket.[1] Nemrég találta az interneten. Írásában a koreai tudós a karfiol fraktáltermészetét bizonyítja, és kiszámítja annak fraktáldimenzióját, diadalmasan felmutatva, hogy a karfiol nem három, hanem csak 2,88-as dimenziószámmal jellemezhető. Tehát – folytatja barátom –, a karfiol nem tömör, rések vannak a rózsák és szárak között. Amióta a cikket olvastam, a karfiolrózsákat rettentő matematikai monstrumnak látom, és elmegy az étvágyam. Fogalmam sincs, mikor rágom két-, egy-, esetleg másfél dimenzióssá a rántott karfiolt. Így van az, ha egy elméletet felkapnak, és megpróbálják mindenütt, minden jelenség mögött megsejteni. Hát nekem a karfiol nem fraktál. Lehet prézlis vagy rántott, de nem fraktál! Nem akarom mikroszkóppal enni, nem akarom meglátni, hogy bármely nagyításban (skálafüggetlen kiskanállal szedegetve), bármely méretben, ugyanaz a tejföl ül a karfiolrózsák közt…

Egyetértek a barátommal. A jól ismert, fehér húsú karfiol maradjon meg konyhai alapanyagnak és kulináris élvezetek tárgyának. Igaz, a káposztafélék családjának egy másik fajtája, a 16. század óta a Mediterráneumban termesztett római brokkoli[2] a természetes fraktál iskolapéldájává emelkedett az elmúlt évtizedekben. Manapság a laikusok számára ezzel a növénnyel csinálnak kedvet a fraktálgeometriához. Tessék, most bárki rám sütheti az öncélúság bélyegét: én is fraktált keresek mindenütt. Még Borgesnél is… De hogy jön ide Jorge Luis Borges? Ismerte talán a fraktálokat? Nem ismerte.

rajzottak a fejében

A fraktálok ismerték Borgest. Rendszeresen rajzottak a fejében. Fraktálgondolatai folyamatosan villantak fel és csomósodtak az agyában, hogy testet öltsenek esszéiben. Magam előtt látom Borgest (aki nem ismeri ugyan a fraktálokat, de ámulatba ejti a rekurzivitás logikája), amint az őt megálmodó Borges elméjében létezve ül íróasztalánál, és erősen gondolkodva egy másik Borgest képzel, aki egy éjjel álmot lát. Végtelen regresszió – írja (valamelyik) Borges, majd gondolatait a Don Quijote apró csodái című esszéjében így folytatja: „Vajon miért nyugtalanít bennünket, hogy az egyik térkép benne foglaltatik a másikban, s hogy ama ezeregy éjszaka benne van az Ezeregyéjszaka meséi című műben? Vajon miért nyugtalanít bennünket, hogy Don Quijote a Don Quijotét olvassa, Hamlet pedig a Hamletet nézi? Azt hiszem, rátaláltam a magyarázatra: az efféle megfordítások azt sejtetik, hogy ha lehetséges, hogy egy képzelet alkotta mű szereplői olvasók, illetve nézők, akkor az is lehetséges, hogy mi, olvasók, illetve nézők merő fikciók vagyunk.”[3]

Ma azt mondanánk, hogy Borges „végtelen regressziója” a rekurzivitás fogalmának korai írói kifejezése, ami igen finom, s inkább csak érezhető, semmint kifejezhető prózai felrajzolása a választóvonalnak, ami a borgesi regressziót a valódi fraktáltól elválasztja. A rekurzió matematikai-logikai eljárás, amely eredményezhet ugyan fraktált, ám mégsem szükségszerűen tartalmazza a fraktál elkészítésének receptjét. Számomra a fraktál legszuggesztívebb képi megjelenése lehet a római brokkoli, egy térképlapokból álló sorozat, mely ugyanazt a földdarabot különböző méretarányokban ábrázolja, vagy egy hegyláncról készített űrfotósorozat ugyancsak különböző nagyításokban. E három, igen eltérő példa a fraktál matematikai lényegét ragadja meg: íme, a skálafüggetlen (azaz bármely nagyítás alatt lényegében ugyanolyan) önhasonlóság megjelenése. Olyan struktúrák, amelyek bármely nagyítás mellett, bármely képkivágatban jó közelítéssel ugyanúgy néznek ki. A fraktál és a rekurzió megvilágítását Hegedűs Gábornak köszönöm, aki ennek az írásnak korai változatát olvasva mutatott rá a fontos és finom különbségre. Merészet állítok: az 1940-50-es években a fraktálok felfedezése „benne volt” a kor levegőjében. Nem a rekurzióra gondolok, ami számos géniusznál felbukkan az emberi gondolkodás története során, hanem a valódi fraktáltermészet megragadására.

wikipedia.org

A fraktálok matematikai leírását 1960-hoz kötjük, amikor Daniel Mandelbrot matematikai eszközökkel leírta a fraktál képletét, felfedezve ezzel a skálafüggetlen önhasonlóság, a fraktálgeometria matematikai posztulátumát. A rekurzió elve kétségtelenül jóval azelőtt felbukkant az emberi gondolkodásban, hogy Mandelbrot fraktál meghatározása közkinccsé tette. Ez idő tájt nemcsak az író Borges, hanem más művészek, például az amerikai Jackson Pollock is ráérzett a fraktálokra. Nem felületes tanulmányokra gondolok, amelyek bizonyítják (megint mások cáfolják), hogy Pollock óriás vásznai fraktálok. Állítom, hogy Pollock fraktáljai – Borgeséhez hasonlóan – a művész fejében léteztek. Ezért erről művei kevés eséllyel vallanak. Amennyiben Pollock saját elméjében valóban felbukkantak a fraktálok, akkor azt – valamiképp – ki is fejezte. Erről tehát nem művei, hanem nyilatkozatai győznek meg:

„Amikor a festményemben vagyok, akkor nem vagyok tudatában, hogy mit csinálok. […] Nem tartok attól, hogy változtassak, szétromboljak egy képet stb., mert a festménynek megvan a saját élete. Én csak megpróbálom életre segíteni. És amikor elveszítem kapcsolatomat a festménnyel, az eredmény zűrzavar. Különben ott a tiszta harmónia, a könnyed átadás és elvétel, és a festmény jól sikerül.”[4]

megragadni és közel hozni

Tudnunk kell, hogy Pollock hatalmas, néha tízméteres vásznait valóban a „képben” alkotta, szavai így nem csupán allegorikusan, hanem a szó szoros értelmében is értendők. Hol ecsettel, hol vödörrel, hol festékszóróval állt vásznain Pollock. Szó szerint a képben alkotva szórta szét színeit és figuráit az anyagon. Az alkotás során így valamiképpen a festmény részévé vált. Nyilatkozatából kiviláglik a fraktál lényegi magvának felismerése: az önhasonlóság elve, és annak végtelen rekurziója. Pollock egyrészt a festmény maga, másrészt a festményen kívüli Pollock látja a festményben alkotó Pollockot. Ez a fraktál természetének megérzése, művészi ars poeticaként történő intuitív megfogalmazása. Ugyanaz a látásmód, mint Borgesé. A művész része művének, annak egy atomja, ám más „nagyításban” (felülemelkedve az alkotás gyötrelmén), kiszállva a képből, és másik dimenzióból szemlélve meglátja magát a saját festményében. Pollock hatalmas vásznait közelről szemlélve, mintha a teljes egész jelenne meg kicsiny felületen ismétlődve. Két-három évtizeddel később matematikusok próbálták minden eszközzel kimutatni: Pollock nonfiguratív vásznai fraktálok – nem jártak sikerrel. Nem is járhattak. Pollock fraktáljait nem ott keresték, ahol azok megbújtak. Nem a festményekben léteztek (azok csak a többszörözött rekurzió szép példái), hanem a művész agyában. A festő képként, az író esszéként próbálta megragadni és közel hozni a valóságot, aminek absztrakt matematikai kifejezéséhez nem rendelkeztek megfelelő apparátussal. Ahhoz a kor egy másik gyermeke, Daniel Mandelbrot kellett.

A matematikai ezermester Mandelbrot az 1950-es évek végén belekapott a közgazdaságtanba, és a gazdaság jövedelmeinek eloszlásait kezdte tanulmányozni. Egyedi látásmódja szakmai körökben ismertté tette, és a Harvard egyik közgazdász professzora 1960-ban meghívta előadást tartani. Amint idősebb kollégája előadását hallgatta és levezetését nézte, ijedten látta, hogy a fraktálokról a fejében kristályosodó sejtést kollégája felrajzolta a táblára! Houthakker – így hívták a harvardi professzort – azonban nem a fraktálokat, hanem a gyapotárak alakulását rajzolta fel. Ennek nyilvánvalóan semmi köze nem volt Mandelbrot jövedelemeloszlásaihoz, mégis ugyanazt a tényt próbálta értelmezni. Mandelbrot szerencséjére Houthakkernek fogalma sem volt, miért olyan izgatott fiatal vendégelőadója, és miért kiált fel: „Hogyan materializálódhatott az ábrám az előadásom előtt?”. Houthakker zavarban volt. Csak arra akarta felhívni előadásában a figyelmet, hogy a gyapotárak az évtizedes idősorok vizsgálata alapján mintha két ütemre táncolnának: van egy hosszú távú hatás, és van egy véletlenszerű, rövid távú hatás, ami mintha ráíródna a hosszú távú hatás sodrására. Ám folyamatos „illesztési” problémák adódtak: sehogy sem lehetett függvényt illeszteni az idősorokra. Nagyon sokáig (és a legtöbb természeti/statisztikai jelenség értelmezésekor ma is) úgy gondolják a tudósok, hogy ezeknek az adatsoroknak az elemzésére az egyik legmegfelelőbb módszer a Gauss-féle normális eloszlás illesztése a statisztikai adathalmazhoz. Pusztán számolgatás kérdése, és megtaláljuk az adott adathalmazhoz illeszkedő Gauss-féle eloszlást leíró paramétereket. A közgazdászt éppen az ejtette rabul, hogy bárhogy ügyeskedett, a néhány évtizednyi vizsgált időtávot átölelő gyapotárak nem engedelmeskedtek semmilyen addig ismert statisztikai függvénynek sem. Ám Houthakker nem látta meg a dolgok szövete mögött húzódó finom törvényszerűséget. Ehhez Mandelbrot zsenije kellett… Számos fraktált találunk tehát ott, ahol korábban csak egymásba skatulyázott történeteket, borgesi végtelen regressziót, mai értelemben vett rekurzivitást, vagy szokványos matematikai képletek elől eltáncoló adatsorokat látunk.

pexels.com

Térjünk vissza bevezetőnk káposztaféléihez. Nézzünk egy harmadik káposztafélét, a nálunk is kedvelt közönséges brokkolit, mégpedig szokatlan nézetből, a szára felől. Nem kell nagy fantázia, hogy egy másik művész, Maurits C. Escher egyik grafikáját lássuk magunk előtt, ami ugyancsak egy fraktál geometrikus megfogalmazása. Escher 1959-ben rajzolta meg a Circle Limit III című grafikát.[5] A kör határa (= a brokkoli széle) felé közeledve egyre kisebb méretekben (skálafüggetlen módon) látjuk ugyanazt az alakzatot ismétlődni, míg a forma a végtelenbe fut, és mérete elenyészik. Ám bármely nagyításban ugyanazt látjuk, fraktál ez is, mégpedig a javából! Nem tudom, Mandelbrot ismerte-e Escher művészetét, és a grafikák hatottak-e matematikai fantáziájára. Azt sem tudom, hogy a gyengülő látású Borges látta-e valaha Escher grafikáit. De tény, hogy a vaksággal küszködő Borges fantáziáját izgatta a (ma fraktálnak nevezett) jelenség. Másik esszéjében, az 1941-ben megjelent, Az elágazó ösvények kertje[6] címűben egyik szereplője szájába adja az Ezeregyéjszaka egymásba simuló, egymásból kifeslő történeteinek befejezetlen és befejezhetetlen, véges térbe zárt végtelenségét: „Eszembe jutott az az éjszaka is, az Ezeregyéjszaka közepén, amikor Seherezádé királyné (a másoló csodálatos szórakozottsága következtében) szóról szóra megismétli az ezeregy éjszaka történetét azzal, hogy majd újra eljut ahhoz az éjszakához, amelyen épp mesél, és így tovább a végtelenségig.”[7]

az öröklétbe ringatja

Szikár logikával vizsgálva ez nem fraktál, csupán mesterien szavakba öntött rekurzió: a mese szövete lágyan az öröklétbe ringatja olvasóját. A történetből nincs kilépés, kérlelhetetlenül és megszakítás nélkül árad. A borgesi végtelen regresszió jelenik itt meg. Gyanúnk nő: Borges elméje valóban birtokába került a rekurzivitás művészi kifejezésének, sőt, talán tovább is vitte azt, „meglátva” a fraktálokat.

Emily Dickinson ugyan majd’ száz évvel előzi meg a tudós- és művészvilágon „eluralkodó” fraktálérzést, a szélesebb köztudatba azonban csak a múlt század ötvenes éveiben robbant be posztumusz kritikai kiadású verseivel. Ismét csak nem tudjuk, ismerte-e az alábbi verset Mandelbrot (aki ekkortájt szintén az Egyesült Államokban élt). Dickinson kötetéből a 695-ös számú verset idézem:

Ha szétválna a tenger és új tengert mutatna – és az is – újat – mind a három elférne gondolatba.
Még több tenger közé – a partjuk néptelen – leendő tenger szélein – bennük – a végtelen –
(G. István László fordítása)

Az egymásból kibomló, önálló világokat, egymáshoz hasonló világegyetemeket leíró kép a fraktál szuggesztív erejű megragadása: a rekurzivitás és önhasonlóság tömör kifejezése. A sorok mélyebb értelmén töprengve elnyom az álom. Dickinson tengerének partján heverve orromra libben a pillangó. Egy másik álomból, amit Dzsuang-Dszi álmodott. A pillangó rám néz az orromról. Összetett szemének minden lencséjén ragyog a fény. Szárnyait szét- meg összezárva incselkedik velem: Szabó Lőrinc pillangója[8] mellett megidézi Edward Lorenz pillangóját is, a káoszelmélet emblémáját, a Lorenz-attraktort. A káoszelmélet hírvivője Mandelbrot felfedezésével csaknem egy időben, 1963-ban libbent be a tudományos közéletbe. Mandelbrot látta ezt a lepkét. Tudom, hogy látta. Majd a pillangó tovaszáll, élelmet keres a káposztavirágon. Én felébredek és elcsodálkozom: Borges tényleg felismerte a fraktálokat?

Míg ezen a megválaszolhatatlan kérdésen töprengek, a Borgest álmodó Borges íróasztalához ül, és gépelni kezd. Betűi kopognak a papírlapon. Életre kel Mandelbrot és Houthakker, tovalibben egy lepke, és levelet hajt a karfiol.

  1. Kim, Sang-Hoon (2005): Fractal structure of a white cauliflower, journal of the Korean Physical Society, 46: 474–477.
  2. Római brokkoli, olaszul: broccolo romanesco: www.ubcbotanicalgarden.org//potd/roma- nescol024.jpg (2010-02-07), bár mostanában találkoztam a „pagoda-karfiol” elnevezéssel is.
  3. Jorge Luis Borges válogatott művei II: Az örökkévalóság története. Vál. és szerk.: Scholz László. Európa Könyvkiadó Budapest, 2009, 402 p.
  4. Idézi Elizabeth Frank Jackson Pollockkal készített interjújában.
  5. M. C. Escher: Circle Limit III: www.euler.slu.edu/escher/upload/9/90/Circle-Limit-III.jpg [2010-02-05]
  6. Borges, Jorge Luis (1941): jardín de senderos que se bifurcan. (Az elágazó ösvények kertje)
  7. Borges, Jorge Luis: Fikciók Az elágazó ösvények kertje
  8. Szabó Lőrinc: Dzsuang-Dszi álma (Te meg a világ, 1932).
felső kép | Georg Samwald: Karfiol, wikimedia.org