Hegedűs Gábor

BIZTOS TUDÁS

2005 december

BIZTOS TUDÁS

Mund Katalin előadásában a tudományos igényű és a köznapi tudás viszonyát vizsgálva megmutatta, hogy a tudós műhelyek munkájának eredményét mennyi minden befolyásolja, teszi túl gyakran joggal kifogásolhatóvá. Szabályozható-e úgy a tudományos kutatás, hogy biztosabb tudáshoz vezessen? Van egyáltalán biztos tudás? Gyakori válasz, hogy aki erre vágyik, foglalkozzék matematikával. Mund Katalin a természettudományok példáiból merített, én matematikusként elsősorban a matematikáról szólok majd (amit a XX. században – nevezetes problémák megoldása során – újraalapoztak). Kezdem azonban a természettudományos kutatás módszertanának egy kritikájával.

Paul Feyerabend A módszer ellen című munkájában azt állítja és teszi hihetővé, hogy a tudományos kutatásnak nem lehetnek olyan szabályai, amelyek ne hátráltatnák lényegesen, mi több: elfogadhatatlanul. Állításait elsősorban avval támasztja alá, hogy Galilei példáján megmutatja: a ma leginkább elfogadott (valamennyire a maga korában is irányadó) szabályokat a tudós nem tartotta be:

temérdek munka

– Modellje az észlelt jelenségek közül a ptolemaioszi (arisztotelészi) modellnél nem többet és pontosabban magyarázott, hanem kevesebbet és pontatlanabbul. (Mai tudásunk szerint már nem ez a helyzet, de Galilei publikációi után még temérdek munka kellett a mérleg átbillenéséhez.)

– Megfigyelései nem voltak korlátlanul, azonos eredménnyel megismételhetők (akkor még nem tudták, hogy az emberi szemek eltérő tulajdonságai miatt látják egyesek, amit Galilei állít, mások pedig mást – ez sem bizonyosodott be Galilei életében).

– Nem akkor állt a laikus közvélemény elé állításaival, amikor a tudományos közösség azt már megvitatta, hanem lényegében azonnal (eredményes propagandát csatolt érvei mellé – evvel kétségkívül elősegítette a tudomány fejlődését, de az így eljáró tudósok ma is kivívják a többiek ellenszenvét; ellenfelei joggal bírálták, s nem csoda, hogy a közléstől az inkvizíció eltiltotta).

A szabályok betartásával Galilei nagyon kevésre jutott volna. Ha Feyerabend okfejtését elfogadjuk: minden következtetés szabadon kimondható, a tudomány fejlődése során kialakul, mit tekint egy kor igaznak (és kik tekintik azt egy korban igaznak).

Ha tudásunkat értékelni akarjuk, gondolnunk kell arra is, hogy egymásnak részben ellentmondó modellek hosszú ideig együtt számítanak tudományos igazságnak (máig sem sikerült a relativitáselméletet és a kvantumelméletet összehangolni), miközben nincs, talán nem is lehet minden kritikát kiálló mércéjük sem az eredményeknek, sem a módszereknek.

*

Egy 1950 körül kiadott, gyerekeknek szóló matematika-könyvben olvastam: minden fizikus tudja és minden matematikus sejti, hogyan lehet a teret közös átmérőjű gömbökkel a legsűrűbben kitölteni. A tudás mást jelent a természettudományokban és mást a formálisakban. Egyenlő méretű üveggolyókkal töltött zsákot rázva, és fokozatosan megszorítva, a golyók zöme mindig azonos rendben helyezkedik el (kivételek csak a széleken vannak), ami kísérletileg bizonyítja, hogy ez az elhelyezkedés a legsűrűbb. A fizikában ez elég, a matematikában bizonyítéknak kevés. A nagyobb szigor avval is jár, hogy amire a matematikában azt mondjuk: tudjuk, az egyben biztos tudást jelent?

Simona, flickr.com

Az ókori matematika axiomatikus tudomány volt: megfogalmaztak általánosan elfogadott alapelveket, axiómákat; hozzájuk csatoltak hihető feltevéseket, posztulátumokat – minden más állítást, tételt ezekből vezettek le. Az idők folyamán kiderült, hogy az axiómák és a posztulátumok között nem érdemes különbséget tenni. Az ókor óta arra törekedtek a matematikusok, hogy az egyes axiómák egyszerűek, az axiómarendszer egésze minimális, ellentmondásmentes és teljes legyen.

a párhuzamosok axiómája

Az egyszerűség megítélés kérdése, nem játszik döntő szerepet. Ha egy axiómáról kiderül, hogy a többiek következménye, ettől a rendszer nem rendül meg, az „igazság” szempontjából ez is másodlagos (más szempontból fontos – a párhuzamosok axiómáját addig próbálták a többi segítségével bebizonyítani, amíg ki nem derült, hogy független azoktól, s ez előidézte a geometria XIX. századi forradalmát).

A XX. században Gödel megdöntötte a teljességhez fűződő reményeket: az indukciót tartalmazó axiómarendszerek (minden érdekes axiómarendszer – például a természetes számoké is – ilyen) nem lehetnek teljesek. Megfogalmazható bennük, eszközeikkel olyan állítás, amelynek az igazsága vagy téves volta nem következik az axiómákból. (A síkgeometria párhuzamossági axióma nélküli, szokásos axiómarendszereiben megfogalmazható a párhuzamossági axióma, amelyről nem dönthető el, igaz-e. Az egykori kontinuum hipotézis, amely szerint nincs a természetes számok és a valós számok számossága között további számosság, független a szokásos axiómarendszerektől: azok a modellek, amelyek szerint van ilyen, és azok, amelyek szerint nincs, egyformán jók lehetnek.)

Az ellentmondás-mentesség kulcskérdés: ha az axiómák ellentmondanak egymásnak, akkor minden állítás az ellenkezőjével együtt igaz, nem ér semmit sem az axiómarendszer, sem amit arra építettek. Bolyai János azt bizonyította be, hogy akár a párhuzamossági axiómát, akár az ellenkezőjét vesszük a többi axiómához, azonos eséllyel kapunk ellentmondásmentes vagy ellentmondásos rendszert: az „új világ” akkor és csak akkor ellentmondás-mentes, ha a régi is ilyen. A „régi világban” a sík egy egyenesével egy rajta kívül fekvő ponton át egyetlen nem metsző – párhuzamos – egyenes húzható, az „új világban” akárhány (amelyből kettőt indokolt a párhuzamos névvel kitüntetni).

all good names are taken, flickr.com

Logikai hibát követ el egy laktanya parancsnoka, ha a laktanya borbélyát arra utasítja, hogy a laktanyából azokat és csak azokat borotválja meg, akik nem maguk borotválkoznak. A borbély akár megborotválkozik, akár nem, megszegi ezt a parancsot (amely azért hibás, mert a borbélyról külön nem rendelkezik). Az ellentmondásos axiómarendszerek talán legismertebb példája a naiv halmazelmélet. Egy közismert példa a Russell-antinómia. Nevezzük Péter Rózsa nyomán tartalmazkodóknak az olyan halmazokat, amelyek elemként tartalmazzák önmagukat. Vajon az összes nem tartalmazkodó halmazból álló halmaz tartalmazkodó-e? Nem nehéz belátni, hogy bármelyik feltevésből levezethető a másik. (Ha igen, akkor a tartalmazkodás definíciója szerint tartalmazkodik, eleme önmagának, miközben a vizsgált halmaz egyik eleme sem tartalmazkodhat e halmaz definíciója szerint. Ha nem tartalmazkodik, akkor a halmaz definíciója szerint eleme a halmaznak, azaz a tartalmazkodás definíciója szerint tartalmazkodik.) A naiv halmazelméletben ellentmondás van, axiómarendszere tehát hibás.

Azóta a halmazelméletnek több olyan axiómarendszerét is felépítették, amelyben nem sikerült ellentmondást találni, miközben a matematikában a halmazelmélettől elvárt követelményeket teljesítik. Közös vonásuk, hogy a halmaz fogalma nem lehet tetszőlegesen általános és nem keverhető a halmaz saját elemeivel. A fontos axiómarendszerekről azóta sem sikerült bebizonyítani, hogy ellentmondásmentesek, de azt általában igen, hogy a többiekkel együtt ellentmondásmentesek vagy ellentmondásosak (miként Bolyai is tette). Ez azt jelenti, hogy az axiomatikus matematika vagy általában helyes, vagy egészében értelmetlen. A matematikusok döntő többsége úgy véli, hogy az első lehetőség áll fenn, és ennek megfelelően dolgozik. Ez vélekedés, nem tudás (legalábbis matematikai értelemben nem az).

Hogyan lehet olyan matematikát művelni, amelyről tudjuk, hogy ellentmondásmentes? Erre a kérdésre a konstrukcionista iskola adott – a többi iskola szerint fölöslegesen szigorú és mégsem teljes – választ. Ez a válasz – az iskola nevével összhangban – arról szólt, hogy csak megfelelő szabályok betartásával létrehozható konstrukciók lehetnek a matematika tárgyai. [1] Amennyire látom, ezek a korlátozások – mivel újabb ellentmondásokat nem találtak az axiomatikus matematikában sem – lassan vesztettek érdekességükből.

A matematika egészének megalapozásában fontos szerepet játszott az az iskola is, amelyik megmutatta, hogy a halmazelmélet és a matematikai logika modellezi a teljes matematikát, az alapokat érintő problémák ezen a két területen belül az egészre kiterjedő érvénnyel kezelhetők (indítói többet reméltek, de ez sem kevés).

A matematikai gondolkodásban alapvető axiómarendszerekről tehát azt tudjuk, hogy nem csak nem teljesek, de nem is lehetnek azok; matematikai nézőpontból elegendő okunk van feltételezni, hogy nem ellentmondásosak, de nem tudjuk, valaha is megbizonyosodhatunk-e erről.

a matematika szigora 

Mi a helyzet a tételekkel, a matematika építményének egészével? A XX. század matematikáját egyetlen ember nem képes áttekinteni (ha ezt valaki szeretné elérni, esélyei rohamosan romlanak). Igazak a könyvekben, folyóiratokban és az internet ellenőrzött fórumain megjelenő tételek? Ha valamelyik fontossá válik valamiért, annak az egynek az igazságáról biztosan meggyőződhetünk? A matematika szigora szerint azt mondhatjuk csak: minden területen van olyan emberi tényező, amely miatt nem állíthatjuk semmiről biztosan, hogy igaz. Ettől még vannak állítások, amelyekről senki sem gondolja, hogy hibásak, de a szó legszigorúbb értelmében nem zárhatjuk ki a hiba lehetőségét (ahogyan a fizikában – a kinetikus hőelmélet szerint – elképzelhető, bár kicsi a valószínűsége, hogy amikor egy fazék szobahőmérsékletű vizet felteszünk a tűzre, az nem felforr, hanem megfagy).

De nemcsak az igazság szélsőséges előírásai bizonytalanítanak el bennünket. Az új eredményekbe a szerzők „beleírják” a hibákat, ezek egy részét a lektorok észreveszik, más részét olvasók derítik fel előbb vagy utóbb, de maradhatnak „örök hibák” is. Néhány esetben a bizonyítás problémái közismertek: vannak matematikusok, akik folyamatának ismeretében nem fogadják el eredményét. Nem az állítás igazságát vonják kétségbe, hanem bizonyított, azaz tétel voltát. (Például a négy szín tétel esetében tízezernyi esetet ellenőriztek számítógépes programmal, a nagy Fermat tétel esetében a matematika távoli területeit érinti egy bonyolult és rendkívül terjedelmes bizonyítás.)

Az összkép: matematikai tudásunk is bizonytalan (ami nem tart vissza attól, hogy jelentős részét igaznak tekintsük). Ha így nézzük, ugyanazt az emberi tényezőt látjuk, mint a természettudományoknál, bár kissé másképp. Az axiomatikus matematikában

    – egy (nem triviális) axiómarendszerről azt bizonyíthatjuk, hogy annyira ellentmondásmentes, mint a rendszeresen használt axiómarendszerek;

    – egy tétel vagy igaz, vagy hamis, vagy független az axiómáktól.

Az előbbiek bizonyítása emberi munka eredménye, amiben hiba lehet – innen a bizonytalanság. A bizonyítás hibátlan volta azonban ténykérdés, nincs benne szerepe vélekedésnek – ezért kicsit más a helyzet, mint a természettudományokban.

[1] A korlátozásoknak (pl. a bizonyítás elvetése a harmadik kizárása alapján) hozadékuk is van (pl. megalapozható a fizikában máig használt, de a mai matematikai analízisből száműzött számolás “végtelenül kis” mennyiségekkel). A konstruktivista iskola ma is él, ld. http://www.ams.org/journals/bull/2017-54-03/S0273-0979-2016-01556-4/S0273-0979-2016-01556-4.pdf vagy https://video.ias.edu/members/1213/0318-AndrejBauer, ha kevesen is művelik.
felső kép | Oliver Hammond, flickr.com