Bíró Béla

ISTEN ÉS GEOMETRIA

2000 december

ISTEN ÉS GEOMETRIA

Az Isten és geometria című Tóth Imre-kötet (eredetileg franciául íródott, s magyarra meglehetősen sok slendriánsággal átültetett) esszéinek egyetlen tárgya a nem-euklideszi geometria, s bámulatos, hogy ebbe az egyetlen témába is mi minden belefér. Gyakorlatilag szinte a teljes kultúrtörténet. Tóth Imre ugyanis a témát az elképzelhető legtágasabb összefüggésrendszerbe helyezi. A geometriában azt látja, ami: az emberi tudás legmélyebb fundamentumát, melynek alapkérdései létezésünk minden aspektusát lényeg szerint érintik, az ismeretelmélettől a természettudományokig, az erkölcstől a politikáig, a hittől a művészetig.

szenvedélyes vitákból született

A nem-euklideszi geometria közismerten azokból a szenvedélyes vitákból született, melyeket a szakemberek és a laikusok széles köre Eukleidész Elemek című könyvének párhuzamosokra vonatkozó posztulátuma, illetve annak konzekvenciái körül folytatott. A posztulátum így hangzik: „minden ’a’ és ’b’ komplanáris egyenespárra érvényes, hogy egy ’p’ pontban metszik egymást, ha a ’c’ közös metsző által alkotott belső szögek együttesen kisebbek, mint két derékszög”.

A probléma, melynek megoldási kísérletei a nem-euklideszi geometria felfedezéséhez vezettek, a következő volt: mi ennek a „paralellák”-ra vonatkozó (E-vel jelölt) euklideszi posztulátumnak a logikai státusza: a bizonyíthatatlan axiómáé vagy a bizonyítható teorémáé? A kérdés sarkalatos, hiszen a két kategória közt lényegi különbség van: az axiómák függetlenek egymástól, a teorémák viszont az axiómák logikai következményei csupán.

Mivel több mint kétezer esztendőn át sem az E posztulátumot, sem a kizárt ellentmondás axiómáját nem lehetett megkérdőjelezni, a nem-euklideszi geometria kidolgozásáig csupán két (lényegében egyenértékű) megoldás volt elképzelhető: az euklideszi rendszer 19 axiómájára (a Bolyai-féle abszolút rendszer axiómáira) alapozva bebizonyítani, hogy az E igaz vagy hogy az ellentétes tétel, a non-E hamis. Elvileg azonban más megoldások is léteztek. A kombinációs lehetőségeket Tóth Imre így rendszerezi:

1. „E nem igaz, nem hamis; és non-E nem igaz, nem hamis.” Azaz: a két tétel egyikéhez sem rendeljük hozzá sem az igaz, sem a hamis logikai értékét. Így hallgatólagosan megmaradunk az abszolút geometria rendszerében. Ebben az esetben nem létezik nem-euklideszi, de éppúgy euklideszi geometria sem. Ezek – az abszolút geometriában – bizonyíthatatlan, de egyben cáfolhatatlan, logikailag konzisztens és összefüggő tételekként vannak jelen. Az általuk leírt geometriai univerzumoknak nem tulajdonítható sem az aktuális lét, sem az aktuális nemlét ontológiai értéke.

2. „E igaz, non-E hamis.” Így egyetlen geometria létezik: az euklideszi. Az E állítás az eldöntetlenség természetes állapotából – tehát egy olyan állapotból, melyben az E sem nem teoréma, sem nem axióma – egyszerre kiemelkedik, azáltal válik axiómává, hogy Eukleidész az E pozícióhoz közvetlenül – minden bizonyítás nélkül – hozzárendeli az „igazság” logikai értékét. Az abszolút geometria kibővül az E axiómával. Tóth Imre okfejtése nyomán (mint annyi egyéb vonatkozásban) ismét rá kell ébrednünk, hogy a görögök többet tudtak, mint az őket követő 2000 év! Eukleidész már 2000 évvel ezelőtt tudatában volt annak, amit tételesen csak a 19. század geométerei fogalmaznak meg ismét, hogy ugyanis az E tétel független az abszolút geometria axiómáitól.

Sokáig a tudománytörténet is tévutakon járt. Tóth Imre bebizonyítja: „..nem párhuzamosok problémája jelent meg mint Eukleidész Elemek című munkájának következménye, hanem megfordítva: az Elemek jött létre egy, a párhuzamosok már fennálló problémájára adott válaszként.” (174)

A párhuzamosok tételének posztulálása (azaz az axiómák rendszerébe iktatása) volt az a döntés, amely az euklideszi geometria végérvényes igazságát megalapozta. „A párhuzamosok problémájának megoldása az ókorban a geometria euklideszi axiomatizálásához vezetett – az antieuklideszi geometria egyidejűleg végbemenő kategorikus, de éppoly szabad visszautasításával egyetemben (175) Azt az alaptételt, melyet az abszolút geometriai axiómák segítségével sem bizonyítani, sem megdönteni nem lehetett, Eukleidész minden bizonyítás nélkül igaznak fogadta el, s „egyszerű és meztelen követelmény formájában, nem bizonyítható imperatívusz gyanánt” a már adott abszolút geometria axiómáihoz csatolta mint új axiómát.

az antieuklideszi világban

3. „E hamis, non-E igaz.” Ez esetben végtelen számú geometria lehetséges, s a nem-euklideszi világ minősülne lehetetlennek. „Nyilvánvaló, hogy az euklideszi geometria minden metamatematikai problémája és sajátossága változatlan módon újra megjelenik ellentétében, az igaz antieuklideszi geometria rendszerében. Itt is, ebben az antieuklideszi világban, az egyetlen világban, amely valóságos léttel bír, ennek a világnak a belsejében is végrehajtható az egyedül igaz non-E axióma – és implicit módon a hamis E állítás – logikai függetlenségének bizonyítása… Itt az euklideszi geometria logikai lehetetlensége a kizárt harmadik logikai axiómájának következményeként jelenik meg: az E és a non-E állítások formálisan ellentmondanak egymásnak, és a két logikai axióma, a kizárt ellentmondás és a kizárt harmadik axióma konjunkciója megköveteli, hogy a két állítás közül az egyik igaz, a másik hamis legyen.” (157)

Ez a megoldás tehát az alapkérdést ugyanúgy nyitva hagyja, mint az euklideszi. A 19. században a nem-euklideszi geometria felfedezésével végül egy negyedik – korábban teljes képtelenségnek látszó – alternatíva valósult meg.

4. „E igaz és non-E igaz.” A fejleményt Tóth Imre így értékeli: „A nem-euklideszi geometria keletkezésével a probléma valójában korrekt megoldásra lelt. A megoldás az euklideszi eljárás helyességét végleges elméleti bizonyítékkal igazolta: az Elemek fundamentális tétele, E, nem az abszolút geometria teorémája; ha az ismert, vagyis az euklideszi geometria egészét akarjuk megalapozni, úgy elengedhetetlen, hogy az E euklideszi állítást – ahogyan az az Elemekben történik – bizonyítás nélkül a geometriai tételrendszer axiómájaként fogadjuk el.” (144) A 19. században sem „az elvárt megoldást (azaz az E helyességét, illetve a non-E hamisságát – B. B.), hanem ellenkezőjét, a felállított feladat elvi megoldhatatlanságát lehetett kimutatni a szigorú bizonyítási eljárás eredményeként.” (145)

„Beigazolódott – állapíthatja meg a szerző –, hogy a nem-euklideszi történet egy, a hagyományos kutatás által teljesen ignorált fejlődési struktúrával bír: sem az elméleti, sem a történeti területen nem létezik szükségszerű kapcsolat egyrészről a párhuzamosok problémája megoldhatatlanságának – és ezzel együtt az anti-euklideszi tételek megdönthetetlenségének, konzisztenciájának – felismerése és másik részről a nem-euklideszi geometria keletkezése között.

Hasonló teoretikus előfeltételek, amelyek a 19. században a nem-euklideszi geometriához vezettek, az ókorban ellentétes irányba mutattak – az euklideszi geometria megalapozásához, s egyúttal a már fennálló antieuklideszi csábítás elvetéséhez. (177)

Ahhoz, hogy a – már az ókorban is lépten-nyomon kimutatható – alternatív megoldást a 19. századitól megkülönböztethesse, Tóth Imrének (a korábbi terminológia alapjain) az „antieuklideszi” és a „nem-euklideszi” fogalompárokat kell szabatosan definiálnia: az euklideszi és antieuklideszi geometriák „szigorúan alternatív viszonyban állnak egymással: kölcsönösen kizárják egymást”, az euklideszi és nem-euklideszi geometriák azonban nem: „a köztük fennálló reláció a szimultaneitás; diakrón és akrón módon vannak egymás mellé és egymáshoz rendelve, episztemikus juxtapozícióban és ontikus koegzisztenciában egyenjogú tagjai az episztémé, a tudás univerzumának…”

össze van kötve

Igaz, a kizárt ellentmondás logikai axiómája kategorikusan megtiltja, hogy két egymásnak formálisan ellentmondó állításhoz szimultán az „igaz” logikai értékét rendeljük. A Gauss, Lobacsevszkij és Bolyai alkotta nem-euklideszi geometria révén azonban ez a logikai lehetetlenség mégis a geometria valósága lett. Kiderült: E és non-E nemcsak együtt igazak, de elképzelhetetlenek is egymás nélkül. „Valóban be lehet bizonyítani – írja a szerző –, hogy az euklideszi és a nem-euklideszi elválaszthatatlanul össze van kötve egymással a kölcsönös megsemmisítés irgalmatlan logikai összetartozása által.” (335) Ezt a helyzetet Tóth „a geometriai lét és tudás, a geometriai tudat területén” létrejövő coincidentia oppositorum eseteként értékeli.

A paradox tényállás a szerzőt egy másik – a hagyományos gondolkodásmód számára nem kevésbé meghökkentő – feltevéshez, az ún. „geometriai kozmopoézis szabadságának” (181) kimondásához vezeti.

„… a geometriai cselekvés szubjektuma – írja – nyilvánvalóan mindentudó, az általa kimondott axiómákkal minden teoréma jelen van intellektusában, tudása prekogníció, ismer minden teorémát, mielőtt ezeket a konkrét ’humán’ szubjektumok megismerik… Intellektusa az összgeometriai lét tudásával rendelkezik még mielőtt minden geometriai tárgy univerzumának formájában a létezés aktuális státusát elnyerte volna.” (186)

„… A geometria szubjektumának intellektusában nemcsak az egész geometria van meg, hanem a geometriai szubjektum tudása semmit sem tartalmaz a geometrián kívül. A geometriai kogníció a geometriai univerzum öntudata.

Minden kozmológia fenomenológia: a geometria tudománya a maga számára tudatossá vált geometriai lét, a geometriai tudás pedig a geometriai univerzum önmagáról tudása. A geometria akkor euklideszi, ha a geometriai szubjektum önmagát mint euklideszit tudja… A geometriai praxis cselekvő ágensének viszonyulása univerzumához, a transzcendentális szubjektum viszonyulása önmagához: a kognitív aktus és a létkonstituáló aktus szimultaneitása és egysége.” (187)

Eukleidész esetére alkalmazva:

„A parancs szövege, az euklideszi posztulátum a parancs maga. A parancs eléri célját és ennek következtében meg is jelenik a geometria és a geometriai tárgyak univerzuma. A geometria és univerzuma e parancs következtében a lét területén jelenik meg; a geometriai szubjektum igéje mindenható: a semmiből emeli át a geometriát a létbe.” Ezért Tóth Imre értelmezésében Bolyai híres mondása is szó szerint értelmezendő: „semmiből egy új világot teremtettem”. A tudás ugyanis a szerző számára „éppúgy egzisztál vagy nem egzisztál, mint egy virág, egy fa, egy ceruza, vagy egy pohár”. (225)

De a geometriai szubjektum egyéb különös vonásokkal is rendelkezik: „Kettéhasad: bent van a geometriai tárgyak világának belsejében, ugyanakkor kint is, ennek a mindenségnek a külsejében. Még ha Brehm taxonómiája nem is tesz említést róla, a geométer is tagja az élőlények természetes világának, és így geometriai helye a geometriai tárgyak belső, kognitív szubjektumaként a világ belsejében van. De nem tartozik a természethez, mert mi is ellenkeznék radikálisabban a rerum natura, a kézzelfogható és szemmel látható természet dolgaival, mi is lehetne természetellenesebb, mint az Én? És ennek az Énnek a nem geometriai helye a mindenség külsejében van, és mint ahogy az entomológus néz egy egzotikus rovart, annak fölötte van, és onnan, fölülről szemléli, és tudja (itt be kell szúrnunk, hogy: „ugyanúgy szemléli és tudja ő is”, a fordító „mondatának” ugyanis enélkül nincsen sem alanya, sem állítmánya – B. B.) a geometria világát egy előtte fekvő egyetlen és oszthatatlan tárgynak a transzcendens szubjektumaként, anélkül, hogy a világmindenségből ki lenne zárva.

De egy és oszthatatlan: olyan szubjektum, amelyik az egyes szám első személyben beszél, mint az önmagát tudó és az önmagával azonos én…

misztikus borzadály

Tartok tőle, hogy ennek tudomásul vétele a titokzatosság misztikus borzadályát és valamiféle obskurantista miszticizmus gyanúját kelti a szemlélőben. És nem is tagadom, meglehet, hogy misztika, de a kettéhasított egy és oszthatatlan Én skizofréniája olyan természeti jelenség, mint a földrengés és a gravitáció – olyan misztérium, amely az én belső terének gravitációs ereje, és közelről sem betegség, hanem az Én viruló egészségének és belső energiájának elengedhetetlen szimptómája… (315–316)

„Az én sajátos ontológiája azonban abban rejlik, hogy csak akkor létezik és van, ha tudja önmagát…” (318)

Aztán félreérthetetlenül leszögezi: „Az a természetben fellelhető tárgy, melyet az ’Én’ szó jelöl, valóban kissé vagy talán nagyon is paradox – legalábbis a formális logika szempontjából, mert ez a tárgy minden tárgyiasság formális ellentéte – maga a megismerés szubjektuma.” S ennek az Énnek a paradox jellegét egy megválaszolatlanul hagyott kérdéssel is fokozza: „De hogy’ lehet valami a megismerés tárgya és egyben alanya is?” (319)

Végül így összegez: „… a logika nem alkalmas az önmagát mint tudása tárgyát megismerő szubjektum leírására, jellemzésére és megismerésére – de annak ellenére, hogy a szubjektum nem foglal semmilyen geometriai helyet a világban, jelenléte olyan realitás, amelynek jelentőségét és értékét nehezen lehet túlbecsülni (a fordításban tévesen „alábecsülni” szerepel – B. B.).” (320)

A könyv a probléma történetének rendkívül alapos, sokrétű, szellemesen polémikus feltárásával messze túlnő a puszta tudománytörténeti kontextuson, a szó legjobb értelmében vett szellemtörténetté, sőt a tudás végső elveit érintő filozófiai reflexióvá nemesedik, mely stílusában a szépirodalmi esszé területére is gyakorta átcsap. A művészek és a művészetek (mindenekelőtt József Attila költészete) iránti rajongás egy geométer részéről, még ha az önmagát elsősorban filozófusnak tekinti is, meglehetősen szokatlan. De ez a beállítódás magával a témával áll belső kapcsolatban. A kötet címadó esszéjének bevezetőjében a szerző is leszögezi: „a modern művészek népes csoportja volt az egyetlen olyan emberi közösségamelyben az új geometriát – mint a szellemi emancipáció hordozóját – általános lelkesedéssel fogadták.” (137–138)

A kötet esszéi a legszigorúbb tudományos igényességgel megírt szövegek, de amint azt a fenti idézetek is sugallják, Tóth Imre tudományossága megengedi, hogy „a frivolitás hírében álló irodalomnak és poézisnek a tudomány szigorú várában” (150) is lehessen keresnivalója.

Humán érdeklődésű olvasóját kezdetben talán elriasztja a rengeteg technikai, filológiai részlet, de ha van benne elégséges türelem, kíváncsiság és kitartás, s követi Tóth Imrét a szellemi alpinizmus e nyaktörő útjain, ritka szellemi örömökben lehet része, olyan panorámában gyönyörködhet, mely általában csak a kiválasztott keveseknek jut osztályrészül.

A könyvnek, akárcsak egy Shakespeare-drámának, mely olvasható krimiként, történelemként, lélektani tanulmányok gyűjteményeként, retorikai, költői, dramaturgiai remeklésként, az isteni Gondviselés titkaiba avatásként, számtalan szintje és rétege van. Nemcsak szaktudományos munka, érdekfeszítően megírt szellemtörténet, kor- és jellemrajzok, biztos kézzel felskicceit anekdoták regénybe illő sora, nemcsak magas szintű filozófiai esszé, de gyakran a szó valódi értelmében vett költészet is, az emberi szabadság és megismerés valóságos himnusza.

Az E, illetve a non-E bizonyíthatatlansága-cáfolhatatlansága Tóth Imrét nem a szkepszishez, a minden mindegy irracionális ideológiákat igazoló „józanságához”, az erkölcs megtagadásához, éppen ellenkezőleg, az emberi tudás és szabadság nagyszerűségébe és morális felelősségébe vetett hithez vezeti.

immanens szükségszerűséggel

„A négyzet abszolút lényegének…, (ennek) az önmagában banális geometriai ténynek a megismerése – egyben annak a logikai ténynek a megismerése…, hogy a kizárt harmadik axiómájának nyíltan ellentmondva, a négyzet csúcsa az aktuális geometriai világban sem nem ortogonális (azaz derékszögű – B. B.), sem nem-ortogonális – a dolog intim természetéből fakadó immanens szükségszerűséggel egy olyan mellékterméket produkált, amely jelentősebb és fontosabb, és a belőle fakadó pozitív kognitív nyereség nagyobb értékkel bír, mint maga a geometriai tétel.

Az episztemikus univerzumnak ez a növekménye röviden a következőképp foglalható össze: a megismerhetetlenség megismerhető.”

Ráadásul „a megismerhetetlenségnek ez a megismerhetősége more geometrico bizonyítható is, ennélfogva ugyanazzal a megfellebbezhetetlen abszolút bizonyossággal is rendelkezik, mint maga az igazság, amelyik elvezetett hozzá – és mint általában minden geometriai tétel kételyt nem tűrő örök igazsága.” (313) Ez az abszolút biztos és örök tudás azonban a szubjektúm alkotása. Nélküle, tőle függetlenül nem létezik.

„Az a gondolat, mely az új geometriát megszülte, világra hozta, léttel ajándékozta meg, és fennmaradását biztosította, nem a geometria sajátos tartományának belsejéből fakadt.

Ennek az eszmének a székhelye a geometria szubjektumában található, éspedig a szubjektumnak azon intim belsejében, ahol ez – mint a geometria szubjektuma – tudatára ébred annak, hogy szabadsága olyan belső erő, melynek hatalmában áll egy új világot teremteni, olyan más és új világot, amelyik szemben áll a már meglevővel, és hogy ez a szubjektum saját szabadságának az öntudata, egyben a legbelsőbb fórum is, amely azzal a joggal ruházza fel, hogy szimultán rendelje hozzá az igazság logikai értékét két egymásnak ellentmondó axiomatikus állításnak, hogy az aktuális létnek ugyanazt a pozitív ontikus státuszát egyszerre adományozza mindkét, egymással szemben álló, egymással ellentétes geometriai struktúrával rendelkező mindenségnek.” (407)

Spinoza Etikájának alcímét – more geometrica constructa – parafrazálva: „A nem-euklideszi geometria egy geometria more etico contsructa, és az üzenet, melyet hordoz – ha meg akarjuk érteni üzenetét – az, hogy az etikai igazság és ezért a szabadság fölötte áll a tudományos racionalitás igazságának: ethosz supra logosz – az igazság nem határa a szabadságnak, ellenkezőleg, a szabadság az igazság forrása.” (411)

S ezek a nyelvi megformálás és a gondolati precizitás tisztaságával világló tételek akkor is érvényben maradnának, ha valaki a jövőben valamikor esetleg azt a – Tóth Imre által feltételezettel ellentétes – hipotézist bizonyítaná be, hogy az euklideszi és a nem-euklideszi világ a formális logika alapelvei szerint sem zárják ki egymást, mert valamely világokon túli metakozmikus hierarchia részeként ugyanannak a létezőnek az eltérő aspektusai csupán.

„geometriai kozmopoézis szabadságának” kimondása akkor is a magyar és az emberi szellem történetének egyik legnagyszerűbb, alighanem csak a Bolyai Jánoséhoz mérhető teljesítménye marad.

kép | shutterstock.com