A HAZA MINDEN ELŐTT

Az előző évszázad alaposan megváltoztatta – legalább az európai kultúrkörben – az ember képét a világról és magát az ember világát is. Egy közel 80 éves matematikai eredmény friss megismerése élesen megvilágította számomra e kettő összefüggését.

A matematikusok évezredek óta törekszenek arra, hogy jó axiómarendszereket alkossanak. Egy axiómarendszer egyszerű, a többiekből le nem vezethető (független) axiómákkal írja le a tudomány egy részterületét. Első közelítésben jónak akkor nevezhető, ha nincs benne ellentmondás, azaz egy állítással együtt nem vezethető le az ellenkezője is; ugyanakkor az axiómákból felépíthető kérdésekre megadható benne a válasz is (vagyis teljes). Az egyszerűség megítélés kérdése, ezért elvileg nem fontos. A függetlenség hagyományos módon vizsgálható, száz évvel ezelőtt már nem állt az érdeklődés homlokterében. (Korábban évszázadokon át vizsgálták, független-e a párhuzamosok axiómája a geometria többi axiómájától; vö. Bolyai János munkássága.) Akadtak a teljességgel kapcsolatban is nyitott kérdések, de a matematika egésze szempontjából az ellentmondások kizárása volt akkor a legfontosabb.

ordinális analízis

David Hilbert, korának vezető matematikusa – sok egyéb mellett – célul tűzte ki, hogy az axiómarendszereknek, legalább az aritmetika axiómarendszerének az ellentmondásmentes voltát bizonyítsák be saját eszközeivel. Munkatársaival ezen dolgozott az 1930-as königsbergi konferencia előtt is. E konferencián Kurt Gödel bejelentette: bebizonyította, hogy az aritmetika axiómáit tartalmazó axiómarendszerekben saját teljességük nem bizonyítható, majd még abban az évben levezette, hogy saját ellentmondásmentes voltuk sem. Első közelítésben jók így csak nagyon egyszerű axiómarendszerek lehetnek. A teljesség szóba sem jöhet, de mi legyen az ellentmondások kizárásával? Gerhard Gentzen 1936-ban megmutatta, hogyan lehet egy axiómarendszer ellentmondás nélküli voltát bizonyítani (természetesen nem saját axiómáiból, más feltételekkel), és evvel megalapozta a matematika egy új alágát, az ordinális analízist.^[1]

Vajon miért ismeretlen Gentzen a bizonyításelmélettel foglalkozók körén kívül? Több évtizedes matematikai munkám után miért csak most találkoztam vele – ahogy a környezetemben levő fiatalabb matematikusok is? Hilbert problémáját és Gödel korszakos jelentőségű tételeit minden matematikus jól ismeri. Lényegtelen volna eredménye? Dehogy! A szerzővel volna baj? Igen, vele nagy baj van!

Bár valószínűleg nem volt antiszemita (a háborúig kapcsolatot tartott „nem árja”-ként 33-ban elbocsátott témavezetőjével, és jeruzsálemi matematikussal is levelezett), de hagyta sodortatni magát a hazai eseményekkel: SA, NSDAP, hűségeskü Hitlernek, szerződés az SS-szel a V2 programra. A végállomás: letartóztatták Prágában (ott volt egyetemi tanár) 1945. május 7-én, éhen halt a börtönben augusztus 4-én.

A szövetségesek fegyverkezését segítő tudósok kiváló emberek, a tengely-hatalmakéi tömeggyilkosok, vagy legalább tömeggyilkosságok társtettesei?

Gentzen dolgozott, mintha minden a legnagyobb rendben volna, tette, amit a hatalom elvárt. A győztesek a végén megölték. Mit tehetett volna másképp hazája iránti lojalitását megőrizve? Ha otthon maradva más úton jár, több esélye lett volna, hogy tisztes kort ér meg? Volt egyáltalán más út Németországon belül?

Werner Heisenberg vezette a német atomprogramot, de Teller Ede szerint annyit hibázott, hogy ez a hibatömeg nem lehetett a véletlen műve. Amikor a szövetségesek elfogták, ezt még nem lehetett tudni, ma is inkább megalapozott feltételezés, mint tudás. A nemzetközi közösség mindenesetre már régen mentesítette háború alatti szerepe következményeitől.

saját hatalmi céljaira

Az világos, hogy a náci diktatúra a német gondolkodók jelentős hányadát üldözte át háborús ellenfeleihez. Történelmietlen kérdés: mi lett volna, ha ezeknek az embereknek a kapacitását saját hatalmi céljaira próbálja hasznosítani (antiszemitizmusa nélkül ez a diktatúra elképzelhetetlen). Hogyan értékeljük a győztes oldal tudósainak fegyveralkotó munkáját, benne a Magyarországról németországi kitérővel elüldözöttekét? A fegyverek felhasználásával kapcsolatos – eltérő – álláspontjukat a háború befejező szakaszában, majd a hidegháború idején?

Magyarországon nincs nagy publicitása Neumann János amerikai elnöki tanácsadó preventív atomháborút pártoló véleményének (alapja a német analógia: Hitlert a 30-as évek közepén még csekély véráldozattal meg lehetett volna állítani; a Szovjetuniónak még nincs hidrogénbombája: ha már lesz, akkor sokkal több áldozattal jár majd vele a küzdelem).

Mit gondoljunk Izrael bizonyára létező és Irán nyilvánvalóan tervezett atomfegyvereiről, mások ezekkel kapcsolatos álláspontjáról?

Andrej Dmitrijevics Szaharov szovjet atomtudós politikusok késztetése nyomán kezdett társadalmi kérdésekkel foglalkozni, és vált tapasztalatai nyomán hazája politikai rendszerének ellenfelévé. Elárulta volna hazáját?

Edward Snowden amerikai számítógépes szakember – nem vezető tudós – saját lelkiismeretének engedve vált hazája politikai vezetésének árulójává: nyilvánosságra hozott kémkedési adatokat. Ez hazaárulás volt?

Egy régi magyar példa: hazaáruló volt az utolsó magyar nemesi felkelést is szétverő Napóleonhoz propagandistaként csatlakozó, később is vele tartó Batsányi János?

A hazájuk vezető politikusaival szembefordulók hazaárulók? Mikor válik bűnné a lojalitás? Hol a határ?

Lehet egyáltalán ezekre a kérdésekre jól válaszolni, vagy meg kell elégednünk a kisebb rosszal? Mikor van jó válasz?

 

1. Az Amerikai Matematikai Társaság Bulletinjának 2013. júliusi száma közli David E. Row ismertetőjét Jeremy Gray „Platón szelleme: A matematika modernista átalakítása” című müvére: Ennek egyik bekezdése így számol be erről (saját fordítás): „Közben Hilbert – fiatalabb matematikusok, köztük Paul Bernays segítségevel – hozzáfogott második párizsi problémájának lezárásához, amely az aritmetikai axiómák összhangjának belső bizonyítására törekedett. Jött azonban Kurt Gödel, aki a königsbergi konferencián csendben bejelentette saját nemteljességi tételét. Hilbert elvesztette a játszmát. Gödel eredménye szétzúzta bizonyításelméleti programjának célját, mert bebizonyította, hogy az elemi aritmetikát tartalmazó axiómarendszereken belül az axiómák összhangja formálisan eldönthetetlen. Így az előrelépéshez meg kellett változtatni Hilbert bizonyításelméletének szabályait. Valóban, így eljárva, öt évvel később Gerhard Gentzen bebizonyította az összhangot.”

   Az ismertető alapján a könyv bizonyára érdekes olvasmány a matematika alapjai iránt érdeklődők számára (maga a königsbergi konferencia is az, hiszen ott kristályosodott ki a logikai, a formalista és az intuicionista irányzat évtizedeken át meghatározóan fontos eltérése), bár éppen az idézett bekezdés pontatlan. Gödel későbbi, 2. nemteljességi tétele mondja, hogy az ellentmondások axiómarendszeren belüli eszközökkel nem zárhatók ki; a konferencián bejelentett 1. nemtejlességi tétel ezt még csak előkészítette (a legjobb elmék – pl. Neumann János – ebből már megsejtették a későbbi eredményt is). ↑

felső kép | Matematikai eszközök dobozban, 1581/1600, Galileo Múzeum – Tudománytörténeti Intézet és Múzeum